Persamaan Euler-Lagrange

Fenomena Fisika berupa ayunan bandul fisis, gerak melingkar, dan hubungan roda-rodamerupakan kasus mekanika klasik yang membutuhkan Hukum Newton II sebagai penyelesaiannya. Hukum Newton II menyatakan bahwa vektor gaya merupakan vektor laju perubahan momentum yang dapat dirumuskan melalui persamaan (Arya, 1990; Morin, 2008).

 Akan tetapi, karena kasus yang dikaji bukan dalam bentuk yang sederhana maka diperlukan persamaan lain untuk menyelesaikan kasus tersebut. Persamaan yang akan digunakan adalah persamaan Euler-Lagrange.

Persamaan Euler-Lagrange merupakan persamaan yang berasal dari reformulasi Hukum Newton yang memudahkan untuk semua koordinat. Persamaan Euler-Lagrange dapat diturunkan melalui Prinsip D’Alembert, dengan menerapkan prinsip pergeseran semu atau virtual displecement. Sebuah pergeseran maya dari sistem didefinisikan seperti suatu perubahan  pergeseran dari tiap partikel tetapi dengan waktu tertentu. Pergeseran matematis yang dapat menyelesaikan secara konseptual pada satu waktu tertentu, yang mengikuti persamaan (Goldstein, 1950).

Melalui penurunan Prinsip D’Alembert akan diperoleh persamaan Euler-Lagrange (Arya, 1990; Goldstein, 1950; Symon, 1971 );

Persamaan tersebut merupakan persamaan Euler-Lagrange dalam sistem koordinat umum, yang berlaku pada gaya konservatif. Jika penyelesaian kasus gaya non konservatif maka Euler-Lagrange bukan sama dengan nol. Akan tetapi sama dengan , yaitu gaya-gaya luar yang bukan berupa gaya konservatif seperti gaya gesek (Goldstein, 1950; Symon, 1971).